সূচক (৪.৩)

ষষ্ঠ শ্রেণি (মাধ্যমিক) - গণিত - বীজগণিতীয় রাশি | NCTB BOOK

611

Summary

এই পাঠে 2, 4, 8, 16 সংখ্যা ও তাদের মৌলিক উৎপাদক সম্পর্কিত আলোচনা করা হয়েছে।

2 এর মৌলিক উৎপাদক: 2 (একবার) - সূচক 1 ও ভিত্তি 2
4 এর মৌলিক উৎপাদক: 2 × 2 (দুবার) - সূচক 2 ও ভিত্তি 2
8 এর মৌলিক উৎপাদক: 2 × 2 × 2 (তিনবার) - সূচক 3 ও ভিত্তি 2
16 এর মৌলিক উৎপাদক: 2 × 2 × 2 × 2 (চারবার) - সূচক 4 ও ভিত্তি 2

মৌলিক উৎপাদক এবং এর সূচক সম্পর্কে ব্যাখ্যা করা হয়েছে, যে কীভাবে কোনো রাশির উৎপাদক গুণনের ফলে সূচক বৃদ্ধি পায়।

অ্যালজেব্রার ঘাত এবং সূচক সম্পর্কেও আলোচনা করা হয়েছে:

যদি একটি সংখ্যাকে n বার গুণ করা হয়, তাহলে তা an রূপে লিখিত হয়, যেখানে n হল সূচক ও a হল ভিত্তি।

উদাহরণসহ গুণনের প্রক্রিয়া দেখানো হয়েছে:

am × an = am+n

অতিরিক্ত উদাহরণ ও সমস্যার সমাধান দেখানো হয়েছে, যেখানে সংখ্যা ও অক্ষরের গুণনের ফলাফল নির্ণয় করা হয়েছে।

কিছু সমস্যা সমাধান করার জন্য নির্দেশনা দেওয়া হয়েছে।

2,4,8,16 ইত্যাদি সংখ্যার মৌলিক উৎপাদক বের করে পাই,

2 = 2,2 আছে 1 বার
4=2 $\times$ 2,2 গুণ আকারে আছে 2 বার
8=2 $\times$ 2 $\times$ 2,2 গুণ আকারে আছে 3 বার
16=2 $\times$ 2 $\times$ 2 $\times$ 2,2 গুণ আকারে আছে 4 বার

কোনো রাশিতে একই উৎপাদক যতবার গুণ আকারে থাকে, সেই সংখ্যাকে উৎপাদকটির সূচক এবং উৎপাদকটিকে ভিত্তি বলা হয়।

লক্ষণীয় যে, 2 এর মধ্যে 2 উৎপাদকটি একবার আছে, এখানে সূচক 1 এবং ভিত্তি 2। 4 এর মধ্যে 2 উৎপাদকটি 2 বার আছে। কাজেই সূচক 2 এবং ভিত্তি 2। আবার, ৪ এবং 16 এর মধ্যে 2 উৎপাদকটি যথাক্রমে 3 বার এবং 4 বার আছে। সেজন্য ৪ এর সূচক 3 ও ভিত্তি 2 এবং 16 এর সূচক 4 ও ভিত্তি 2

ঘাত বা শক্তি

এ একটি বীজগণিতীয় রাশি। একে এ দ্বারা এক বার, দুই বার, তিন বার গুণ করলে হবে:

$a \times a = a^{2}$ যেখানে a² কে a এর দ্বিতীয় ঘাত বলে এবং a² কে পড়া হয় এ এর বর্গ

$a \times a \times a = a^{3}$ যেখানে a³কে a এর তৃতীয় ঘাত বলে এবং a³ কে পড়া হয় এ এর ঘন

$a \times a \times a \times a = a^{4}$ যেখানে a⁴ কে a এর চতুর্থ ঘাত বলে, ইত্যাদি।

অনুরূপভাবে, এ কে যদি n বার গুণ করা হয় তবে আমরা পাই $a \times a \times a \times$ ________ $\times a$ (n বার) = aⁿ। এখানে aⁿ কে a এর ॥ তম ঘাত বা শক্তি বলে এবং n হবে ঘাতের সূচক ও a হবে ভিত্তি। সুতরাং a² এর ক্ষেত্রে a এর ঘাত বা সূচক 2 ও ভিত্তি a; a³ এর ক্ষেত্রে ৫ এর ঘাত বা সূচক 3 ও ভিত্তি a, ইত্যাদি।

সংখ্যার ক্ষেত্রে সূচক থেকে আমরা একটি সূচকমুক্ত ফলাফল পাই, কিন্তু অক্ষরের ক্ষেত্রে সূচক থেকে ফলাফল সূচক আকারেই থাকে।

উদাহরণস্বরূপ,

$2^{3} + 3^{2} = 2 \times 2 \times 2 + 3 \times 3 = 8 + 9 = 17$

$a^{4} + 2^{4} = a \times a \times a \times a + 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = a^{4} + 16$

উদাহরণ ৮। সরল কর:

$(i) a x a^{2} (i i) a^{3} x a^{2} (i i i) a x a^{3}$

সমাধান:

$(i) a \times a^{2} = a \times a \times a = a^{3} (i i) a^{3} \times a^{2} = (a \times a \times a) (a \times a) = a \times a \times a \times a \times a \times a \times a = a^{5} (i i i) a^{4} \times a^{3} = (a \times a \times a \times a) (a \times a \times a) = a \times a \times a \times a \times a \times a \times a \times a = a^{7}$

লক্ষ করি:

$a \times a^{2} = a^{1} \times a^{2} = a^{3} = a^{1 + 2} a^{3} \times a^{2} = a^{5} = a^{3 + 2} a^{4} \times a^{3} = a^{7} = a^{4 + 3}$

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি, $a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$ m ও n স্বাভাবিক সংখ্যা। গুণনের এই প্রক্রিয়াকে বলা হয় সূচকের গুণনবিধি।

কোনো সংখ্যার ঘাত বা শক্তি 1 হলে, সংখ্যাটির সূচক 1 লেখা হয় না। যেমন,

a = a^{1}, x = x^{1}

ইত্যাদি।

উদাহরণ ৯। গুণ কর:

$(i) a^{4} \times a^{5} (i i) x^{3} \times x^{8} (i i i) x^{5} \times x^{9}$

সমাধান:

$(i) a^{4} \times a^{5} = a^{4 + 5} = a^{9} (i i) x^{3} \times x^{8} = x^{3 + 8} = x^{11} (i i i) x^{5} \times x^{9} = x^{5 + 9} = x^{14}$

উদাহরণ ১০। সরল কর:

$(i) 2 a \times 3 b^{2} \times 4 c \times 6 a^{2} \times 5 b^{3} (i i) a \times a \times a \times b \times c \times b \times c \times a \times c \times b .$

সমাধান:

$(i) 2 a \times 3 b^{2} \times 4 c \times 6 a^{2} \times 5 b^{3} = (2 a \times 6 a^{2}) \times (3 b^{2} \times 5 b^{3}) \times 4 c$
$= (2 \times 6 \times a^{1 + 2}) \times (3 \times 5 \times b^{2 + 3}) \times 4 c = 12 a^{3} \times 15 b^{5} \times 4 c = (12 \times 15 \times 4) a^{3} b^{5} c = 720 a^{3} b^{5} c .$

(ii)

$a \times a \times a \times b \times c \times b \times c \times a \times c \times b = (a \times a \times a x \times a) \times (b \times b \times b) \times (c \times c \times c) = a^{4} b^{3} c^{3} .$